「周期函数」周期函数周期怎么求

2022-09-23 09:25:08 趣味生活 2阅读 回答者:百科小能手
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今天我们来看一下周期函数,以下6个关于周期函数的观点希望能帮助到您找到想要的百科知识。

本文目录

  • 什么是周期函数?
  • 什么是周期函数
  • 周期函数是什么
  • 有哪些典型的周期函数
  • 什么是周期函数?给一下定义和例题
  • 周期函数的定义
  • 什么是周期函数?

    周期性是三角函数最重要的性质之一,虽然教科书中给出了周期函数的定义,但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少,本文对有关周期函数的有关问题进行简要的概述以满足读者的求知要求.?

    一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y=sinx,x∈(-∞,0),既便是存在正周期也不见得存在最小正周期,比如常数函数f(x)=a,狄立克莱(Dirichlet)函数f(x)=

    等,一个周期是否是函数的最小正周期,一般要用反证法进行严格的证明

    .比如2π是y=sinx,x∈R;y=cosx,x∈R的最小正周期,π是y=tanx,x∈R,x≠

    +kπ,k∈Z的最小正周期,

    是y=|sinx|+|cosx|的最小正周期等.

    当然,有很多与三角函数有关的函数也不一

    定是周期函数,例如y=sinx,x∈〔-100π,100π〕,y=sin

    ,y=sin|x|?,y=sinx2,y=sin

    等等.?

    两个周期函数的和一定是周期函数吗?结论是否定的.比如y=sinx+cos

    x就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数,这个周期函数也不一定存在最小正周期,像y=sin2x+cos2x.

    又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数,但它的最小正周期却有可能发生变化,比如y=cotx与y=tanx的周期是π,而y=cotx-tanx=2cot2x的周期是

    .

    对于确定函数的最小正周期的确是比较困难,教科书也只要求能化为y=Asin(ωx+φ)形式的函数,或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.

    二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明

    本文将对上文涉及到的问题给以严格的证明

    例1

    证明f(x)=sinx,x∈R的最小正周期是2π

    证明:(1)f(x+2π)=sin(x+2π)=sinx=f(x)

    (2)假设存在0<T<2π使f(x+T)=f(x)

    即sin(x+T)=sinx,x∈R

    令x=0则sinT=0又0<T<2π

    则T=π

    令x=

    ,sin(

    +T)=sin

    即sin

    =sin

    此为矛盾

    由(1)(2)两步可知2π为f(x)=sinx的最小正周期

    例2

    证明f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期为

    证明:(1)f(x+

    )=|sin(x+

    )|+|cos(x+

    )|

    =|cosx|+|sinx|=f(x)

    (2)假设存在0<T<

    使f(x+T)=f(x)

    即|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|

    令x=0得sinT+cosT=1

    即sin(T+

    )=

    又0<T<

    <T+

    ∴sin(T+

    )>

    此为矛盾

    由(1)(2)两步可知

    为f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

    例3证明f(x)=sin

    不是周期函数.

    证明:假设f(x)=sin

    是周期函数则存在T≠0使f(x+T)=f(x)

    即sin

    令x=0则sin

    =0

    =kπ,k∈Z

    令x=T则sin

    =nπ,n∈Z

    ②÷①得

    (n∈Z,k∈Z)此为矛盾

    ∴f(x)=sin

    不是周期函数.

    例4

    证明f(x)=sinx+cos

    x不是周期函数.

    证明:假设f(x)=sinx+cos

    x是周期函数,则存在T≠0使f(x+T)=f(x),即sin(x+T)+cos

    (x+T)=sinx+cos

    x

    令x=0,cos

    T=1,则

    T=2kπ,k∈Z

    令x=-T,sin(-T)+cos

    T=1

    即sinT=0,则

    T=nπ,n∈Z

    ①÷②得

    此为矛盾.

    因此f(x)=sinx+cos

    x不是周期函数.

    上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.

    周期函数是什么

    设函数y=f(x)的定义域为D,如果对任意X属于D存在一个非零常数T,使得 f(x+T)=f(x),则称函数y=f(x)是周期函数。

    有哪些典型的周期函数

    sin x,cos x,tan x,cot x 等所有的三角函数都是周期函数。周期函数的定义域一定是无限集合,定义在有限集合上的函数都不是周期函数

    任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。

    周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期,譬如狄利克雷函数。

    扩展资料:

    若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。若T1、T2是f(x)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(x)不存在最小正周期。周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。

    根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(x+T)= f(x)中是与x无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(x+T)- f(x)=0,若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f(x)是周期函数,若这样的T不存在则f(x)为非周期函数。

    参考资料来源:百度百科--周期函数

    什么是周期函数?给一下定义和例题

    对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上,任何一个常数kT(k∈Z且k≠0)都是它的周期。 要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法?我们现有的理论依据只有定义,如何使用定义? 对于定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),而不是有(存在着)某一个x,使f(x+T)=f(x)成立.要想证明T不是周期,只要找到一个x0,使得f(x0+T)≠f(x0)即可.

    周期函数的定义

    1.三角函数的周期可以根据公式,弦函数的2π/w,切函数的π/w(w为正)

    2.一般的函数需要根据周期的定义来判断,不过除了三角函数外,没有给出解析式的函数是周期的函数,所以这类函数往往都是告诉你这个函数的一个性质,让你推知周期,常见 的周期情况有

    f(x+T)=f(x),周期为T

    f(x+a)=-f(x),周期为2a

    f(x+a)=1/f(x),周期为2a

    f(x+a)=-1/f(x),周期为2a

    f(x+a)=1+f(x)/1-f(x),周期为4a

    3.周期的本质是自变量增加一个值以后,函数值恒变回原来的值,可以对照函数的性质式观察:

    如f(-x-3)=f(-x),其实就是对-x这个量来说,减少了3,函数值返回,故周期为3

    f(x-3)=f(x+3),x+3相对x-3来说,增加了6,这样函数值总是不变,故周期为6

    注意和这种形式对比:

    1.f(-x-3)=f(x+3),这个其实说提x+3和它的相反数-(x+3)的函数值一直相等,故说明其为偶函数

    2.f(-x+3)=f(x+3),括号里两个自变量在数轴上关于x=3对称,故图像关于直线x=3对称

    以上请注意仔细体会

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